度小月的部落格

數學之書
螞蟻的里程表（約西元前一億五千萬年）、魔術方陣（約西元前2200年）、畢氏定理（約西元前600年）、季諾悖論（約西元前445年）、歐幾里得《幾何原本》（西元前300年）、算盤（約西元1200年）、黃金比例（西元1509年）、對數（西元1614年）、滑尺（西元1621年）、巴斯卡三角形（西元1654年）、發現微積分（約西元1665年）、常態分佈曲線（西元1733年）、代數基本定理（西元1797年）、重心微積分（西元1827年）、莫比烏斯帶（西元1858年）、黎曼假設（西元1859年）、質數定理的證明（西元1896年）、毛球定理（西元1912年）、混沌理論與蝴蝶效應（西元1963年）、模糊邏輯（西元1965年）、魔術方塊（西元1974年）、碎形（西元1975年）、NP完備的俄羅斯方塊（西元2002年）、破解西洋跳棋（西元2007年）、數理宇宙假說（西元2007年）……共250則

物理之書
大霹靂（西元前一百三十七億年）、以太陽為中心的宇宙（西元1543年）、克卜勒的行星運動定律（西元1609年）、伽俐略落體加速度（西元1638年）、氣壓計（西元1643年）、笛卡兒動量守恆（西元1644年）、波以耳的氣體定律（西元1662年）、牛頓的運動定律和萬有引力定律（西元1687年）、富蘭克林的風箏（西元1752年）、黑洞（西元1783年）、奧伯斯悖論（西元1823年）、愛因斯坦特殊相對論（西元1905年）、熱力學第三定律（西元年1905）、超導（西元1911年）、原子核（西元1911年）、波耳原子模型（西元1913年）、薛丁格方程式（西元1926年）、中子（西元1932年）、平行宇宙（西元1956年）、雷射（西元1960年）、巴克球（西元1985年）、哈伯太空望遠鏡（西元1990年）、霍金的星際奇航記（西元1993年）、宇宙的終結……共250則。

數學之書作者序

數學之美與效用

　　數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況，也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車，模擬地球天然資源流轉的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

　　在本書中，我希望運用少量數學公式提供一點數學品味，而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言，這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元，根據美國教育部實際調查的結果顯示，能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系，都能夠展現出比較優秀的學習能力。

　　數學的實用性讓我們可以建造太空船，探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學（topology，探索形狀與彼此間相互關係的一門學問）或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際，我們就能逃出，在所有不同的時空環境下安身立命。

　　數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子，就以這本書裡面的莫比烏斯帶（The Mobius Strip）為例。德國數學家莫比烏斯（August Mobius）和當時另一位德國數學家利斯廷（Johann Benedict Listing）同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶（一個只有單面，神奇的扭曲物體）。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓（Isaac Newton）與德國數學家萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人，在相同時間，獨立發現同一件事情的情況？其他例子還包括英國博物學家達爾文（Charles Darwin）和華萊士（Alfred Wallace）都在相同時間各別提出演化論的觀點，匈牙利數學家鮑耶（Janos Bolyai）和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

　　最有可能解釋同步重大發現的理由，是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現，已經累積足夠的知識，這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來；可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋，會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納（Paul Kammerer）曾表示：「或許我們可以說，儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生，但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」；卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端，彼此間看起來各自孤立，毫無瓜葛，不過根據他充滿爭議性的理論，我們其實只看到上層的波浪，卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制，詭譎地把世上各種重大事件串在一起，才顯現出這種一波又一波的風潮。

　　易法拉（Georges Ifrah）在《數目溯源》（The Universal History of Numbers）一書中談論馬雅數學時，順便論及了這種同步情況：

　　我們因此又再一次地見證到，散居在廣大時空環境的下互不認識的人．．．．也會有非常類似甚至是一模一樣想法。．．．．有些例子的解釋；是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響，．．．．真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合：智人這種生物的智力具有共通性，把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

　　古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代，會不會只有數目字才是唯一恆常不變的？對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言，數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴，卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

　　本書中有很多條目都跟整數有關，聰穎的數學家艾狄胥（Paul Erdos）醉心於數論—有關於整數課題—的研究，他經常能輕易使用整數提出問題，儘管問題的陳述很簡單，但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話，那一定是個跟數論有關的問題。

　　有很多宇宙萬物可以用整數表達之，譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦，以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克（Leopold Kronecker）曾經說過：「只有整數來自於上帝，其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

　　自從畢達哥拉斯的年代以來，按照整數比例演奏出的音樂，就相當受到歡迎，更重要的是，在人類理解科學的演進過程中，整數也扮演著相關關鍵的角色，像是法國化學家拉瓦節（Antoine Lavoisier）就是依照整數比調配組成化合物的元素，顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年，激態原子放射出一定整數比的光譜波長，也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量，顯示原子核是由整數個數的相似核子（質子跟中子）所組成，與整數比的誤差則促成同位素（基本元素的變形體，擁有幾乎一樣的化學特性，只在中子數的個數上有所差異）的發現。

　　純同位素（pure isotope）原子量無法完全以整數比呈現的微小差異，確認了愛因斯坦（Albert Einstein）著名方程式 E ＝ mc2是成立的，也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯（Carl Friedrich Gauss）的說法：「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

　　用數學描述宇宙這門學科成長迅速，但是，我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學，但是，我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明，可是，他們的論證方式非常冗長又複雜，就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯（Thomas Hales）將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》（Annals of Mathematics）期刊後，整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯，建議該期刊加以發表，可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的！

　　另一個例子來自數學家德福林（Keith Devlin），他在《紐約時報》（New York Times）刊出的文章中承認：「數學已經進展到一個相當抽象的程度，甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾，想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重，我們只好竭盡所能，盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行，不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

　　在此引用物理作為類比。當海森堡（Werner Heisenberg）擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時，波耳（Niels Bohr）顯得相對樂觀。西元1920年代，波耳在一封回給海森堡的信中提到：「我認為這是有可能的，但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因，是因為我們直觀能力有限，透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見，這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能，讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前，就先看到結果，也開啟了一項全新的數學研究領域，就連試算表這種簡單的電腦工具，也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉（Leonhard Euler）、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子，西元1990年代末由貝利（David Bailey）跟佛格森（Helaman Ferguson）兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊，如同克拉瑞克（Erica Klarreich）在《科學新知》（Science News）上的報導，只要電腦能把公式先找出來，事後完成證明的工作就簡單多了，畢竟在完成數學證明的過程中，簡單地知道答案這項工作，通常也是最難以跨越的障礙。

　　我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象，譬如以物理學家麥斯威爾（James Clerk Maxwell）命名的麥斯威爾方程式（Maxwell equation）預測了無線電波的存在；愛因斯坦場論方程式（fields equation）指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克（Paul Dirac）曾說過，今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論，事實上，狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質（antimatter）存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話：「就算再抽象的數學分支，也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

　　在這本書裡，讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略（Galileo Galilei）曾說過：「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒（Johannes Kepler）曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體，建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納（Eugene Wigner）對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻；像是E8這種大李群（large Lie Group）—請參照條目：探索特殊E8李群的旅程（西元2007年）—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年，瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克（Max Tegmark）發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章，指出我們看到的物理實體其實都是數學結構；也就是說，我們不只可以用數學描述所處的宇宙，甚至可以說—宇宙本身就是數學。

物理之書作者序

物理的範圍

　　美國物理學會（The American Physical Society）是當今最重要的物理學家專業組織之一，這個學會是在1899年，由36名聚集在哥倫比亞大學（Columbia University）的物理學家所成立，學會的目標是促進並推廣物理學的知識。該學會在宗旨中提到：

　　物理學對於了解環繞著我們的世界、我們之內的世界以及我們感知以外的世界，都非常地重要。它是最基本也最重要的科學。物理學裡的相對論與弦論等概念挑戰了我們的想像力，它還引導了電腦與雷射等改變了我們生活的偉大發現。物理學的研究範圍涵括了最大的星系到最小的次原子粒子。除此之外，物理學還是其他許多學科，例如化學、海洋學、地震學以及天文學的基礎。

　　的確，今天物理學家的研究範圍又遠又廣，包含了各種酷炫的主題以及基本定理，以了解自然、宇宙以及組成真實世界最細微的結構。物理學家探討多重維度、平行宇宙以及連結不同時空的蟲洞存在的可能性。就如美國物理學會所說的，物理學家的發現經常會導致新的科技，甚至改變哲學以及我們看待這個世界的方式。舉例來說，對許多科學家來說，海森堡的不確定性原理意味著物質宇宙並非以決定論者所說的形式存在，而是一個由各種可能性所形成的神祕組合。我們對電磁學的了解導致了無線電、電視與電腦的發明。我們對熱力學的了解則導致汽車的發明。

　　從這本書中，你將會發現物理學的範圍無法以年代來區分，更難以劃定界線。我採用了一個較寬廣的視角，把工程與應用物理，以及我們對天體了解的進展都納了進來，有些主題甚至還帶有哲學的意涵。儘管這樣的範圍很廣，但是大多數物理領域都有一個共通點，那就是科學家非常仰賴數學工學來了解、實驗並預測自然世界。

　　愛因斯坦曾說，世界上最難以理解的事就是，這世界是可以理解的。確實我們似乎活在一個可以用簡潔的數學式與物理定律來描述或近似的宇宙中。然而除了這些自然定律之外，物理學家還鑽研一些人類所曾思考過最深奧難解的概念，例如相對論、弦論以及大霹靂宇宙論。量子力學讓我們瞥見一個如此古怪又違反直覺的世界，讓我們對空間、時間、資訊以及因果產生疑問。然而，量子力學的那些神祕指涉姑且不論，這個領域的研究成果已經被應用在雷射、電晶體、微晶片以及核磁共振造影等各式各樣的領域與科技上。

　　這本書的內容也把提出那些偉大物理概念的「人」納入其中。物理學是現代科學的基石，幾個世紀以來它吸引了無數的人們投身其中。牛頓（Isaac Newton）、馬克士威爾（James Clerk Maxwell）、居禮夫人（Marie Curie）、愛因斯坦（Albert Einstein）、費曼（Richard Feynman），這些史上最偉大而迷人的心靈，都曾將自己奉獻給物理學的進展。他們改變了我們看待宇宙的方式。

　　物理學也是科學中最困難的學科之一。物理學對宇宙的描述永無止盡地成長，而我們的思考與語言技巧卻有極限。每天都有新的物理被發現，因此我們也需要新的方式來思考與理解物理。德國理論物理學家海森堡（Werner Heisenberg）曾擔心人類或許永遠無法真正地了解原子；但是丹麥物理學家波耳（Niel Bohr）則在1920年代初期樂觀地回應：「我想我們還是可以辦得到，但是在這個過程中，我們或許必須學習『了解』這個字，到底意味著什麼。」今天，我們藉由電腦來分析超越我們直覺的事物。事實上，以電腦所進行的實驗已經讓物理學家得以提出在電腦普及以前無法企及的理論與洞見。

　　現在有一些傑出的物理學家認為在我們的宇宙之外，還有許多像是一層層的洋蔥或是奶昔裡的泡泡一樣平行存在的宇宙。在某些平行宇宙理論裡，我們或許可以偵測到從鄰近宇宙所「洩漏」過來的重力，偵測到這些宇宙。舉例來說，來自遙遠星球的光可能會因為幾釐米外，位於平行宇宙中的不可見天體而產生扭曲。整個多重宇宙的概念並不像它表面上看起來那樣的異想天開。根據美國研究者大衛拉柏（David Raub） 在1998年對72名頂尖物理學家所做的問卷顯示，有58%的科學家，包括霍金（Stephen Hawking），都相信某種形式的多重宇宙。

　　《物理之書》的內容涵括了從理論與具備卓越實用性的發現到奇特難解的主題。在其他的介紹物理的書籍裡，你可能看不到介紹完1964年的次原子粒子－上帝粒子（God Particle）後，下一篇出現的會是1965年風靡了整個美國，擁有絕佳彈跳力的超級球（Super Ball）。我們還會介紹有朝一日可能會撕裂星系，並造成可怕的大撕裂，終結宇宙的神祕暗能量（Dark Energy）；以及開啟了量子力學的黑體輻射定律（blackbody radiation law）。我們將一同沉思涉及與外星生命接觸的費米悖論（Fermi Paradox）；探索一座在非洲發現已經運作了20億年的史前核子反應爐。我們將會討論到創造出史上最深沉的黑－比車子的黑色烤漆還要黑上一百倍－的競賽。這種「終極的黑」未來可能可以用來更有效率地從太陽獲取能量或是設計極度靈敏的光學儀器。

　　本書裡的每一節都很簡短－只有個位數的段落。這種形式可以方便讀者很快地切入一項主題，而省略冗長的說明。想知道人類最早是在什麼時候看到月球的遠側？只要翻到「月球的黑暗面」（Dark Side of the Moon）就可以獲得簡短的介紹。什麼是古老的巴格達電池（Baghdad batteries）之謎？什麼又是黑鑽石（black diamonds）？

　　這本書裡將會提到這些與其他令人好奇的主題。我們將會懷疑真實是否其實只是人為的建構。當我們越來越了解宇宙，而且可以利用電腦來模擬複雜的世界時，即使是嚴肅的科學家也開始質疑真實的本質究竟為何。會不會我們其實都活在電腦所模擬出來的世界裡？

　　在我們生存的這個小小星球上，我們已經發展出可以用軟體與數學規則來模擬類似生命的行為。有一天，我們或許可以創造出具有思考能力的生物，存活在如同馬達加斯加（Madagascar）雨林那樣複雜而多樣的豐富虛擬空間裡。也許我們還能模擬「真實」本身，而更先進的生命或許早就在宇宙的另一個角落這樣做了也說不定。